Ekvivalentní úpravy rovnic

• Slovo ekvivalentní znamená rovnocenný, stejný.

• Ekvivalentní úpravy rovnice jsou takové úpravy, při kterých se stejným způsobem mění levá a pravá strana rovnice. Po ekvivalentní úpravě se kořen rovnice nemění.
  Mění se pouze matematický zápis rovnice, nemění se rovnost stran ani řešení.

• Ekvivalentní úpravy volíme postupně tak, abychom dostali členy s neznámou na jednu stranu rovnice, a čísla na druhou stranu rovnice.

• Pro přehlednost zapisujeme ekvivalentní úpravu vedle zápisu rovnice oddělenou lomítkem.

5 x − 2

=

13

/ + 2

• Jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stené číslo nebo mnohočlen,
  kořen rovnice se nezmění.

	x − 2		=		13		/ + 2		Zapíšeme ekvivalentní úpravu.
	x − 2 + 2		=		13 + 2				Na obou stranách rovnice provedeme zapsanou početní operaci.
	x		=		15				Vypočítáme kořen rovnice.

Správnost výsledku si ověříme zkouškou

	L = x − 2 = 15 − 2 = 13		Za neznámou x dosadíme vypočítaný kořen číslo 15.
	P = 13		Pravá strana se rovná levé.
	L = P		Zkouškou jsme ověřili správnost kořenu.

• Jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen,
  kořen rovnice se nezmění.

	x + 7		=		21		/ - 7		Zapíšeme ekvivalentní úpravu.
	x + 7 − 7		=		21 − 7				Na obou stranách rovnice provedeme zapsanou početní operaci.
	x		=		14				Vypočítáme kořen rovnice.

Správnost výsledku si ověříme zkouškou

	L = x + 7 = 14 + 7 = 21		Za neznámou x dosadíme vypočítaný kořen číslo 14.
	P = 21		Pravá strana se rovná levé.
	L = P		Zkouškou jsme ověřili správnost kořenu.

• Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu.

x + 7

=

21

/ - 7

21

=

x + 7

/ - 7

x + 7 − 7

=

21 − 7

21 − 7

=

x + 7 − 7

x

=

14

14

=

x

Z příkladů je patrné, že po přehození levé a pravé strany rovnice dostaneme vždy stejný výsledek.

Správnost výsledku si ověříme zkouškou

	L = x + 7 = 14 + 7 = 21		Za neznámou x dosadíme vypočítaný kořen číslo 14.
	P = 21		Pravá strana se rovná levé.
	L = P		Zkouškou jsme ověřili správnost kořenu.

• Jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo výrazem různým od nuly, kořen rovnice se nezmění.

	x
		=		3		/ · 7		Zapíšeme ekvivalentní úpravu.
	7

	x · 7
		=		3 · 7				Na obou stranách rovnice provedeme zapsanou početní operaci.
	7

x

=

21

Po vykrácení zlomku získáme kořen rovnice.

Správnost výsledku si ověříme zkouškou:

			x		21
	L	=		=		=		3				Za neznámou x dosadíme vypočítaný kořen číslo 21.
			7		7

	P	=	3		Pravá strana se rovná levé.
	L	=	P		Zkouškou jsme ověřili správnost kořenu.

• Jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo výrazem různým od nuly, kořen rovnice se nezmění.

	7x		=		21		/ : 7		Zapíšeme ekvivalentní úpravu.
	7x : 7		=		21 : 7				Na obou stranách rovnice provedeme zapsanou početní operaci.

	7x			21
		=						Vykrátíme zlomky.
	7			7

x

=

3

Vypočítáme kořen rovnice.

Správnost výsledku si ověříme zkouškou

	L = 7 x = 7 · 3 = 21		Za neznámou x dosadíme vypočítaný kořen číslo 3.
	P = 21		Pravá strana se rovná levé.
	L = P		Zkouškou jsme ověřili správnost kořenu.

Tyto stránky jsou součástí výukového programu Diktátor